Klasická výměna svátečních dárků, kdy si účastníci náhodně vybírají jména, aby si navzájem koupili dárky, může vést k zajímavým matematickým scénářům. Konkrétně, jaká je pravděpodobnost, že všichni budou zachyceni v jediné nepřetržité smyčce? Tedy pokud někoho obdarujete, kdo obdaruje někoho jiného… a tak dále, dokud se koloběh dárků nevrátí k vám?
Pochopení problému
Představte si třídu studentů, kde si každý vylosuje jméno z klobouku. Pokud někdo vytáhne vlastní jméno, burza se restartuje. Cílem je vypočítat pravděpodobnost, že se vytvoří uzavřená smyčka, to znamená, že každý student bude spojen v uzavřeném řetězci rozdávání dárků.
Pravděpodobnost vytvoření uzavřené smyčky se liší v závislosti na počtu studentů (N). Cyklus délky N znamená, že každý dává další osobě v cyklu a končí tam, kde začal.
Malé třídy
-
Tři studenti (N=3): Pravděpodobnost vytvoření uzavřené smyčky je 1/2. Proč? Existují dva možné scénáře: buď se cyklus vytvoří (A → B → C → A), nebo ne. Jedinou alternativou je, že někdo vytáhne své vlastní jméno a vynutí si restart procesu.
-
Čtyři studenti (N=4): Šance klesá na 1/6. Existuje více možných výsledků a pouze jeden z nich vytváří úplný cyklus. Mezi další scénáře patří dílčí cykly nebo vlastní výběr.
-
Pět učedníků (N=5): Pravděpodobnost je nyní 1/24. S rostoucím počtem studentů se šance na dokonalý cyklus stává stále vzácnější, protože je možné získat více náhodných výsledků.
Velké třídy
Pro třídu N studentů je pravděpodobnost vytvoření uzavřené smyčky 1/(N-1)!. To znamená, že jak se N zvyšuje, pravděpodobnost se rychle blíží nule.
Proč? Počet způsobů, jak náhodně přidělit dárky, roste faktoriálně (N!), zatímco pouze jedna kombinace vytváří začarovaný kruh.
Důsledky a kontext
Tento problém se netýká pouze výměny dárků; demonstruje principy permutace a pravděpodobnosti ve srozumitelném kontextu. V matematice jsou cykly základními pojmy v teorii grafů a kombinatorice. Pochopení těchto pravděpodobností může pomoci analyzovat podobné scénáře v oblastech, jako je návrh sítě nebo dokonce biologické systémy.
Skutečnost, že pravděpodobnost prudce klesá s rostoucím N, zdůrazňuje, jak nepravděpodobné je, že by velké skupiny náhodou upadly do dokonalých, soběstačných cyklů. Čím více lidí se účastní, tím více náhodnost narušuje jakýkoli uspořádaný vzorec.
Závěrem lze říci, že zatímco malé skupiny mají rozumnou šanci vytvořit uzavřený cyklus předávání dárků, u větších skupin je tento výsledek stále méně pravděpodobný.
