Pertukaran hadiah liburan klasik, di mana peserta secara acak mengambil nama untuk membeli hadiah satu sama lain, dapat menghasilkan skenario matematika yang menarik. Secara khusus, seberapa besar kemungkinan semua orang terjebak dalam satu lingkaran yang tidak terputus? Artinya jika Anda memberikan hadiah kepada seseorang yang memberikan hadiah kepada orang lain… dan seterusnya, hingga siklus hadiah kembali ke Anda?
Memahami Masalahnya
Bayangkan sebuah kelas siswa di mana setiap orang menggambar nama dari topi. Jika ada yang menarik namanya sendiri, pertukaran akan dimulai kembali. Tujuannya adalah untuk menghitung probabilitas terbentuknya lingkaran lengkap, yang berarti setiap siswa terhubung dalam rantai pemberian hadiah tertutup.
Peluang terbentuknya satu putaran penuh berubah berdasarkan jumlah siswa (N). Sebuah lingkaran dengan panjang N berarti setiap orang memberi ke siklus berikutnya, berakhir di tempat permulaannya.
Ukuran Kelas Kecil
-
Tiga Siswa (N=3): Peluang terbentuknya lingkaran sempurna adalah 1/2. Mengapa? Ada dua kemungkinan skenario: loop terbentuk (A → B → C → A) atau tidak. Satu-satunya alternatif adalah seseorang menggambar namanya sendiri, yang memaksa pengaturan ulang.
-
Empat Siswa (N=4): Probabilitasnya turun menjadi 1/6. Ada lebih banyak kemungkinan hasil, dan hanya satu dari hasil tersebut yang menciptakan putaran penuh. Skenario lainnya melibatkan perulangan parsial atau penarikan mandiri.
-
Lima Siswa (N=5): Peluangnya sekarang adalah 24/1. Seiring bertambahnya jumlah siswa, peluang terjadinya perulangan sempurna menjadi lebih jarang karena lebih banyak hasil acak yang mungkin terjadi.
Ukuran Kelas Besar
Untuk suatu kelas yang terdiri dari N siswa, peluang terbentuknya satu putaran penuh adalah 1/(N-1)!. Ini berarti bahwa seiring bertambahnya N, probabilitasnya dengan cepat mendekati nol.
Mengapa? Jumlah cara untuk menetapkan hadiah secara acak meningkat secara faktorial (N!), sementara hanya satu susunan yang menghasilkan satu putaran penuh.
Implikasi dan Konteks
Masalah ini bukan hanya mengenai pertukaran hadiah; ini menunjukkan prinsip permutasi dan probabilitas dalam konteks yang relevan. Dalam matematika, loop dan siklus adalah konsep dasar dalam teori graf dan kombinatorik. Memahami probabilitas ini dapat membantu menganalisis skenario serupa di bidang seperti desain jaringan atau bahkan sistem biologis.
Fakta bahwa probabilitas turun begitu tajam dengan meningkatnya N menyoroti betapa tidak mungkinnya kelompok besar jatuh ke dalam lingkaran sempurna dan mandiri secara kebetulan. Semakin banyak orang yang terlibat, semakin banyak keacakan yang mengganggu pola yang teratur.
Kesimpulannya, meskipun kelompok kecil mempunyai peluang yang masuk akal untuk membentuk lingkaran pemberian hadiah yang lengkap, kelompok yang lebih besar membuat hasil ini semakin mustahil.
